¿Qué es un punto de equilibrio en los negocios?
Hola a todos,Tengo un sistema de 5 ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales con coeficientes variables (con al menos 3 parámetros que son desconocidos y el resto conocidos). Estoy intentando encontrar los puntos de equilibrio a mano pero parece que no es posible sin la ayuda de un método numérico. ¿Cuál sería un buen método para calcular los puntos de equilibrio del sistema? (He visto miles de ejemplos en internet pero utilizan sistemas de EDOs bidimensionales con coeficientes constantes, que parece ser el caso más “fácil”…)Otra pregunta (de alguna manera relacionada con el problema anterior): ¿Sería posible comprobar la estabilidad de los puntos de equilibrio y luego dibujar un diagrama de bifurcación? Si es así, por favor, ¡sugiere alguna solución! ¡Muchas gracias por sacar tiempo de tu apretada agenda para leer/responder a mi pregunta! Se lo agradezco mucho.
Básicamente quieres encontrar un punto donde la derivada de cada ecuación sea cero. Es decir, si tus ecuaciones son d/dt x(t) = F(x), donde x y F son vectores de longitud Nentonces estás buscando un vector z tal que F(z) = 0 (me refiero al vector de todas las componentes cero). Este es un trabajo para fsolve.Alan WeissMATLAB documentación de la caja de herramientas matemáticas
Calculadora de estabilidad de los puntos de equilibrio
Cuando hablamos de sistemas físicos utilizamos el término equilibrio para describir un sistema que no cambia, que está en equilibrio. Este mismo concepto lo trasladamos a las matemáticas cuando hablamos del comportamiento de las funciones al graficarlas y cómo podemos observar que su valor dependiente se mantiene en equilibrio a través de diferentes valores de la variable independiente.
Entonces, ¿qué significa el equilibrio en este caso? Desde el punto de vista de las pendientes y las ecuaciones diferenciales, el equilibrio se refiere a un valor de cero en la inclinación de una función graficada. Esto significa que para un punto de equilibrio en esta función, el valor de la misma es una constante.
Esto a su vez concluye que para una ecuación diferencial con una función solución, esta solución de la ecuación diferencial es igual a un valor constante haciendo que su derivada (pendiente de la recta tangente) sea igual a cero. Por lo tanto, una solución constante a una ecuación diferencial cuando esta ecuación diferencial es igual a cero, se llama solución de equilibrio o simplemente el “punto de equilibrio” (como se mencionó antes), donde la línea graficada de la función es horizontal.
Tipos de puntos de equilibrio
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$J(x, y) = \begin{bmatrix} \dfrac{parcial x’}{parcial x} & \dfrac{parcial x’}{parcial y} \\ y ydfrac {parcial x} & ydfrac {parcial y} {parcial y} \fin{bmatriz} = inicio{bmatriz} 2x & 2y \\N 2x & -2y \N – fin{bmatriz} = 2\Nbegin{bmatriz} x & y \N x & -y \N – fin{bmatriz}, \tag{8}$
Parece que hay una discrepancia en el cálculo de los valores propios por parte de Monolinte y mía, pero estamos de acuerdo en las características cualitativas de los puntos de equilibrio. Como siempre, el análisis abstracto es fácil, pero la aritmética resulta difícil. Hasta nuevo aviso, mantengo mis cálculos.
Tu siguiente paso es utilizar la linealización, encontrar el jacobiano y evaluar los valores propios de esos cuatro puntos críticos para determinar la estabilidad. Voy a dejar que trabajes eso, pero aquí hay unas buenas notas con un resumen, los inconvenientes de la linealización y ejemplos (empieza en la página 4$). Tampoco estoy seguro de que hayas discutido las líneas nulas, pero los apuntes también las tienen y se pueden superponer en el retrato de fase. Pista: hay tres puntos críticos inestables y uno estable.
Tipos de ecuaciones diferenciales de puntos de equilibrio
A veces, los equilibrios se denominan puntos fijos o estados estables. La mayoría de los matemáticos se refieren a los equilibrios como soluciones independientes del tiempo de las EDO, y a los puntos fijos como soluciones independientes del tiempo de los mapas iterados \(x(t+1) = f(x(t))\ .\)
Los equilibrios hiperbólicos son robustos: Pequeñas perturbaciones de orden \(\epsilon\ ,\), es decir, \(x’=f(x)+\epsilon g(x,\epsilon)\\\Nno cambian cualitativamente el retrato de fase cerca de los equilibrios, sino que sólo desplazan los equilibrios en una pequeña cantidad proporcional a \(\epsilon\ .\)
Además, el retrato de fase local de un equilibrio hiperbólico de un sistema no lineal es equivalente al de su linealización. Esta afirmación tiene una forma matemáticamente precisa conocida como el Teorema de Hartman-Grobman. Dice que las soluciones de
Si al menos un valor propio de la matriz jacobiana es cero o tiene una parte real cero, se dice que el equilibrio no es hiperbólico. Los equilibrios no hiperbólicos no son robustos (es decir, el sistema no es estructuralmente estable): Pequeñas perturbaciones pueden provocar una bifurcación local de un equilibrio no hiperbólico, es decir, puede cambiar de estabilidad, desaparecer o dividirse en muchos equilibrios. Algunos se refieren a este tipo de equilibrio por el nombre de la bifurcación, por ejemplo, equilibrio de nodo de silla de montar.
